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Proseminar

Gegenbeispiele aus der Analysis

Dozenten:
Prof. Dr. Anna Marciniak-Czochra
Dr. Thomas Stiehl

Termin:
Freitags, 14 - 16 Uhr, INF 205 (Mathematikon), SR1. In der ersten Vorlesungswoche findet ein Organisationstreffen statt. Das Seminar kann auf Wunsch der Teilnehmer als Blockseminar abgehalten werden.

Unterlagen: hier

Zielgruppe:
Das Proseminar richtet sich an Studierende aus dem Bachelor-Studiengang. Vorausgesetzt werden Inhalte der Vorlesungen Analysis 1 und Lineare Algebra 1.

Abstract:
Konvergenz, Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit sind Grundbegriffe aus der Analysis einer bzw. mehrerer Veränderlichen. In den Anfängervorlesungen werden diese Begriffe anhand einfacher Funktionen studiert und es wird eine grundlegende Intuition für diese Begriffe vermittelt. Oft erweisen sich jedoch Aussagen, die intuitiv korrekt erscheinen, bei näherem Hinsehen als unzutreffend. Das Proseminar befasst sich mit derartigen naheliegenden Aussagen, die durch Gegenbeispiele widerlegt werden sollen. Des Weiteren werden auch Beispiele für Sachverhalte betrachtet, die auf den ersten Blick überraschend erscheinen, mathematisch jedoch korrekt sind. Das Studium dieser Beispiele soll helfen, die eigene Intuition zu schärfen und wesentliche Grundbegriffe klarer voneinander abzugrenzen. Folgende Fragestellungen können beispielsweise bearbeitet werden:

Produkte stetiger Funktionen sind stetig, gilt auch, dass Produkte gleichmäßig stetiger Funktionen gleichmäßig stetig sind?
Gibt es Funktionen, die in jedem Punkt der reellen Achse unstetig sind?
Gibt es Funktionen, die in genau einem Punkt der reellen Achse stetig/differenzierbar sind?
Gibt es Funktionen, die in allen rationalen Punkten stetig und in allen irrationalen unstetig sind? Gibt es umgekehrt Funktionen, die in allen rationalen Punkten unstetig und in allen irrationalen stetig sind?
Für stetige Funktionen gilt die Zwischenwerteigenschaft (Zwischenwertsatz). Wie sehen Beispiele für unstetige Funktionen aus, für die auch die Zwischenwert-Eigenschaft gilt?
Wie kann man reelle Funktionen konstruieren, die überall stetig, aber nirgendwo differenzierbar sind?
Wie sieht ein Beispiel für eine überabählbare Menge vom Maß Null aus?
Was sind Beispiele für Aussagen, die im ℝⁿ gelten, aber in unendlich-dimensionalen reellen Vektoräumen nicht gelten?

Anmeldung:
Interessenten werden gebeten, sich über MÜSLI zu registrieren. Bei Rückfragen senden Sie bitte eine Email an Thomas Stiehl .

Literatur:
[1] Gelbaum, Olmsted. Counterexamples in Analysis. Dover Publications, 1992.
[2] Wise, Hall. Counterexamples in Probability and Real Analysis. Oxford University Press, 1993.
[3] Bourchtein, Bourchtein. CounterExamples: From Elementary Calculus to the Beginnings of Analysis. CRC Press, 2015.
[4] Appell. Analysis in Beispielen und Gegenbeispielen. Springer, 2009.
[5] Rajwade, Bhandari. Surprises and Counterexamples in Real Function Theory. Hindustan Book Agency, 2007.